Keljfeljancsi 2.0

Világhódító útra indul a magyar kis gömböc?

Molnár Csaba

Molnár Csaba

2008. április 22., kedd 00:00

Sokunk gyermekkorának egyik emlékezetes játéka volt a keljfeljancsi, a baba, amely mindig lábra állt, bármerre is döntöttük el. E furcsa képességét a talpában
elhelyezett nehezéknek köszönhette. De vajon lehet-e olyan homogén, egyfajta anyagból készült tárgyat alkotni, amely képes talpra állni? A Műegyetem kutatói találták meg a választ. Alkotásukat,
a gömböcöt most bárki megtekintheti a Művészetek Palotájában. A feltalálóval beszélgettünk egyetemi irodájában, miközben életünk első olyan labdájával gurigáztunk,
amelynek ára egy Mercedesével vetekszik.
Az ismert bonmot szerint a matematika igen elegáns megoldásokat talál olyan problémákra, amelyek matematika nélkül nem is léteznének. Amikor matematikus kutatók bejelentik, hogy évtizedes munkával bizonyítottak vagy cáfoltak egy tételt, sokunk magát a tételt sem érti, nemhogy a bizonyítás mikéntjét. Történetünk azonban ebből a szempontból is különleges, hiszen a kérdés is egyszerű, a megoldás pedig a szó szoros értelmében kézzel fogható. A válasz helyessége bárki számára könnyen belátható, ha rendelkezésére áll egy asztal és néhány perc, amelyet önfeledt gurigázással tud tölteni.
A Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem szilárdságtani és tartószerkezeti tanszékén találkozunk Domokos Gábor tanszékvezetővel, aki kollégájával, Várkonyi Péterrel közösen találta meg a választ arra a kérdésre, amely az utóbbi évtizedben izgalomban tartotta a matematikusokat. Ez pedig így hangzik: létezik-e olyan homogén (minden pontján azonos sűrűségű anyagból készült) test, amelynek csak két – egy stabil és egy instabil – egyensúlyi helyzete van?

Domokos elmondása szerint matematikai képletek segítségével belátható az, hogy legalább két egyensúlyi helyzete minden tárgynak van. Az egyik stabil, ami azt jelenti, hogy ha kimozdítjuk ebből a helyzetéből, akkor visszatér ide, míg az instabil egyensúlyi ponton elvileg képes ugyan megállni, de ha kicsit kimozdítjuk onnan, akkor elgurul, és oda többé már nem tér vissza. Gondoljunk egy kockára! Minden lapján van stabil egyensúlyi pontja, de vannak instabil egyensúlyi pontjai is, mégpedig a csúcsain.
Domokos Gábor a kilencvenes évek eleje óta az egyensúlyi helyzetek vizsgálatával foglalkozik. Kezdeti, síkbeli kutatásaitól a térbeli „gömböckérdés” irányába azonban egy 1995-ös találkozása indította el Vlagyimir Arnolddal, a ma élő egyik legnagyobb matematikussal. Arnold, meghallgatva a magyar mérnök beszámolóját kutatásairól, közölte vele, hogy amivel addig foglalkozott, kissé érdektelen, a gömböc megtalálása lenne az igazán érdekes feladat. Akkoriban sok matematikus arra tett volna, hogy nem létezik gömböc.
Arnold azonban más véleményen volt. Bár Domokos akkor még nem látta át teljesen a kérdés egyetemességét, a következő években sokat gondolkodott a lehetséges megoldásokon.
– Egyre közelebb jutottam a megoldáshoz, és megértettem, hogy ez egy gyönyörű szép kérdés. Azért gyönyörű, mert Arkhimédésznek fel lehetett volna tenni, sőt lehet, hogy ő meg is tudta volna válaszolni. Nem kell hozzá bonyolult matematika, nagyon egyszerűen meg lehet fogalmazni, meg lehet érteni a kérdést, de nagyon nehéz rá a válasz – mondja Domokos.
Az utolsó két és fél évben, amikor Várkonyi Péter is bekapcsolódott a munkába, már naponta ezzel a kérdéssel foglalkoztak.
– Természeti objektumokból, kövek alakjából merítettük az ötletet – mutat Domokos Gábor az asztalon heverő több száz kavicsra. A tanszékvezető egyszer elment a feleségével nyaralni, amikor még nem tudták, hogy létezik-e a gömböc. Meggyőzte a feleségét, hogy gyűjtsenek kétezer kavicsot a tengerparton, és osztályozzák őket alakjuk szerint. – Ezután az ember vagy elválik, vagy jobb lesz a házassága – teszi hozzá nevetve. Ha találtak volna ott egy olyan kavicsot, amely mindig visszagurul ugyanabba a helyzetbe, akkor egy csapásra megoldották volna Arnold kérdését, hiszen a kavics puszta léte bizonyította volna a sejtés helyességét. – Az emberek többsége úgy gondolja, hogy a matematikai kérdések megoldása mindig hosszú képletek után jön ki. Itt nem a képleteken van a hangsúly, ez egy geometriai kérdés – magyarázza Domokos. A gömböc alakjának megtalálásához a teniszlabda egymásba fonódó rajzolata adta a végső lökést. A kutatók azt is bebizonyították, hogy végtelen számú, különböző alakú tárgy képzelhető el, amelyek mind talpra képesek állni, bármilyen helyzetben helyezzük őket egy vízszintes felületre. A megalkotott gömböc különbözik leginkább a gömbtől a kutató szerint, és a jelenleg rendelkezésre álló technológiával ezt lehet a legkönnyebben gyártani. Fontos azonban tudnunk, hogy csak a gömböc alakja a fontos, anyaga nem, ugyanúgy talpra áll a műanyag, mint a fémgömböc.
Kissé belemélyülve az egyensúlyi helyzeteket magyarázó elméletbe, Domokos elmondta, hogy a gömböcből az összes, több egyensúlyi állapottal rendelkező test levezethető, és a gyakorlatban is át lehet alakítani a gömböcöt úgy, hogy két, három vagy több egyensúlyi állapota legyen. Fordítva ez nem működik, tehát nincs olyan algoritmus, amely segítségével egy több egyensúlyi állapottal rendelkező testből gömböcöt lennénk képesek készíteni.

Nagyon könnyen megérthető az egyensúlyi helyzet fogalma, ha visszagondolunk Kolumbusz tojására. Az ő feladata az volt, hogy csúcsára állítson egy tojást. A tojásnak a két csúcsán két instabil egyensúlyi pontja van, tehát amint némileg kimozdulnak ebből a pozícióból, oda többé már nem térnek vissza. Kolumbusz úgy oldotta meg a feladatot, hogy odaütötte a tojást az asztalhoz, ezzel egy kis horpadás keletkezett rajta. Domokos szerint így egy új egyensúlyi pontot hozott létre a tojáson, amely immár stabil volt. A korábban létező egyensúlyi pontok környezetében könnyebb új egyensúlyi pontot létrehozni, eltüntetni viszont sokkal nehezebb.
A gömböc létének matematikai bizonyításával a kutatás tudományos része lezárult. A tárgyak gyártására és kereskedelmi forgalomba hozatalára a feltalálók egy magánvállalkozást alapítottak, a Gömböc Kft.-t. Bár ma már bárki rendelhet magának gömböcöt az interneten, jelenleg e tárgyak nagyon drágák. A megrendelt darabokat sorszámozzák, és minél alacsonyabb sorszámú gömböcöt szeretnénk megvásárolni, az ára annál magasabb. A 2000 körüli sorszámú gömböcök nagyjából 200 ezer forintba kerülnek, ami a gyártási költségen felül tisztes hasznot biztosít a feltalálóknak, a tíz alattiak árának határa viszont a csillagos ég. Az első számú gömböcöt a feltalálók Arnoldnak ajándékozták hetvenedik születésnapjára. A kettes számú huszonötmillió forint, és a feltaláló megengedte, hogy beszélgetésünk közben játszhassunk ezzel az apró tárggyal, amelynek ára egy Mercedesével vetekszik. Miközben a kezemben tartottam, folyton az járt a fejemben, hogy mi lesz, ha leejtem és eltörik. Egy alig kilenc centiméteres, borostyánszín csillogó labda gurul ide-oda az íróasztalon. Amikor megakad egy pillanatra, mielőtt átbillenne egy peremen, az ember aggódik kissé, hogy mégsem talál vissza a talpára, de végül mindig sikerül neki. A gömböc működik.
Ezt a kettes számút már bárki megvásárolhatja. Domokos elmondása szerint az alacsony sorszámú gömböcök azért ennyire drágák, hogy aki támogatni akarja a kutatást, egy ilyen gömböc megvételével megtehesse ezt. A legalacsonyabb sorszámú, amit eddig megvettek, a százas volt. Ez a különlegesen nagy gömböc látható kiállítva a Művészetek Palotájában. Az ezer alatti sorszámú gömböcökből eddig négy-öt kelt el, az eddigi vásárlók között volt Jimmy Carter amerikai elnök egyik tanácsadója. Volt olyan gazdag vevő, aki a saját születési évszámának megfelelő gömböcöt vette meg, mások ajándékba vagy gyermekjátéknak vásároltak gömböcöt. Ennél komolyabb célra használja a tárgyat az a matematikus, aki előadásain mutatja be segítségével az egyensúlyi helyzetek fogalmát.
– A matematikusok százszámra vásárolnának gömböcöket, csak nekik nincs pénzük – érzékelteti kissé keserédesen az érdeklődést Domokos. Bár már harminc gömböcöt eladtak, a cég még távol van a nyereségességtől. A gömböc szabadalmi védettsége a világ számos országában hatmillió forintot emésztett föl, amelyet teljes egészében Domokos Gábor fedezett.
A magas ár a magas gyártási költségekből (is) fakad. A gömböcöket jelenleg olyan műgyantából készítik, amely ibolyántúli fényre szilárdul meg. Mivel nagyon nagy pontosságot igényel (mérettűrése alig egytized milliméter), egy különleges gyártási technológiával, úgynevezett térbeli nyomtatással készül, a nyomtató pedig hatvanmillió forintba kerül. Úgy képzelhetjük el a gyártási folyamatot, mintha egy levelet nyomtatnánk a tintasugaras nyomtatónkkal. A nyomtatófej rengetegszer elhalad a munkadarab felett, egy elhaladásakor tizenhat mikron (a milliméter ezredrésze) vastag műgyantaréteget permetez az egyre növekvő gömböc tetejére. Ez igen lassú folyamat, egyetlen darab elkészítése tizenkét órát vesz igénybe. A gömböc, ha megsérül, akár csak egy apró szilánk lepattan belőle, máris elveszíti különleges tulajdonságát, javítani pedig nem lehet. A homogenitás olyan fontos, hogy a közepén lévő felirat képezte tubus is a műgyantával azonos sűrűségű anyaggal van kitöltve. A feltalálók jelenleg azon dolgoznak, hogy olcsóbb technológiát találjanak, amelynek segítségével megindulhat a gömböcök tömeggyártása, és áruk lejjebb szorítható.
Hamar világhírnévre tett szert a gömböc. A Mathematical Intelligencer matematikai szaklap címlapján a Rubik-kocka óta először szerepelt magyar találmány, és ez a gömböc volt. Ez annak fényében még nagyobb dolog, hogy más nemzetek találmányai szinte egyáltalán nem kerültek fel a címlapra.
A 2010-es sanghaji világkiállítás magyar pavilonjának egyik fő attrakciója lesz a gömböc, amely Domokos szerint alkalmas lehet arra, hogy egy könnyen megjegyezhető szimbólummal segítse Magyarország megismertetését.

Talán a biológusok fantáziáját mozgatta meg a leginkább a gömböc felfedezése. A tekintélyes Nature című angol tudományos szaklap is beszámolt arról, hogy a gömböc formája hasonlít bizonyos teknősfajok páncéljára. Domokos és Várkonyi, miután felismerték e hasonlóságot, egy éven keresztül keresték azokat a teknősöket, amelyek páncélja imitálja a gömböc formáját. Találtak is néhány ilyen fajt, és meglepődve tapasztalták, hogy a tudományos közvéleményben a teknőspárhuzam visszhangja volt a legerősebb. Ekkor érezték azt, hogy a gömböc több, mint egy matematikai feladvány, alakja a természetbeli formákról árul el nekünk valamit. Az egyik ilyen formájú páncéllal rendelkező teknősfaj az indiai csillagteknős, amely csak a trópusokon él. Ennek az az oka, hogy az evolúció során a gömböc alak nem tudott azonnal kialakulni, először egy igen magas hátpáncélt kellett kifejleszteni. A magas páncélzat eredetileg a hőszabályozást segítendő alakulhatott ki, illetve védelmet nyújthatott a ragadozók állkapcsai ellen. Amint elég magassá vált, az evolúció „rájött arra”, hogy egy kis változtatással a páncélon a teknős könnyebben visszafordul, amikor felborul.
A gömböc további sorsa már nem a feltalálók kezében van, ők azt várják, hogy a legkülönfélébb tudományterületeken fogja felfedezésre inspirálni a kutatókat. A hivatalos honlapon már több mint ötmillió találat volt, a világ szinte valamennyi kutatóintézetéből. A gömböc egyik lehetséges alkalmazása az űrkutatásban használt eszközök tervezésében lehet. Ha a mérnökök olyan űrszondát építenének, amely eléggé homogén belső szerkezettel rendelkezik, és formája hasonlít a gömböcre, akkor minimális energiabefektetéssel talpra tudna állni például egy marsi landolást követően.
Van persze más ötlet is.
– Ha egy gömböc árát néhány ezer forintra tudnánk leszorítani, kiosztanánk sok ilyet kisgyerekek között, és megfigyelnénk, hogy mit csinálnak vele. A gyermekek még olyan dolgokra emlékeznek, amelyeket a felnőttek már elfelejtettek, és esetleg olyan mechanikai, geometriai tulajdonságait értik meg a gömböcnek, amelyeket mi végeláthatatlan képletek alapján sem vagyunk képesek felfogni – foglalja össze jövőbeli terveit a feltaláló.

A szerkesztő ajánlja